Deduktion – Macht und Grenzen der Mathematik

Deduktion – Macht und Grenzen der Mathematik

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Philipp Wehrli, 21. Oktober 1998

Im Gegensatz zur Induktion und zu den Naturwissenschaften, die immer mit einer gewissen Unsicherheit behaftet sind, gelten die Sätze der Mathematik als unbezweifelbar exakt. Solange wir uns an die mathematische Strenge halten, können wir nicht fehlgehen. Daher liegt die Idee nahe, unsere gesamte Erkenntnis und Wissenschaft auf reiner Mathematik aufzubauen.

Fast ideal schaffte dies Euklid rund 300 v. Chr. mit der euklidschen Geometrie, die über 2000 Jahre lang als eine unverrückbar wahre Aussage über die Wirklichkeit galt. Die euklidsche Geometrie stützt sich auf fünf Axiome, die zu Euklids Zeit für so unbezweifelbar galten, dass man sich keine Welt vorstellen konnte, in der diese Axiome nicht gültig wären. (Zum Beispiel: „Jede beliebigen zwei Punkte können durch eine gerade Linie miteinander verbunden werden.“) Alle beweisbaren Sätze der klassischen Geometrie können aus den fünf euklidischen Axiomen abgeleitet werden.

Euklid glaubte, seine Axiome seien unerschütterlich, und weil ihm eine Welt, in der seine Axiome nicht galten, undenkbar schien, hielt er die Sätze der Geometrie für unbezweifelbare Aussagen über die wirkliche Welt. Auf diesen scheinbar unerschütterlichen Axiomen baute er mit sorgfältigen und exakten Schlussfolgerungen die mächtige Welt der klassischen Geometrie. Die Idee muss faszinierend gewesen sein, auf gleiche Weise die ganze Wirklichkeit unbezweifelbar wahr einzufangen.

Doch heute wissen wir dank Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie, dass gerade in unserer Welt die euklidische Geometrie an vielen Orten nicht gilt. Nach der euklidischen Geometrie kann beispielsweise kein Dreieck eine andere Winkelsumme als 180° haben. Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie sagt nun aber voraus, dass der Raum um massenreiche Körper herum derart gekrümmt ist, dass zum Beispiel ein Dreieck in der Nähe der Sonne eine Winkelsumme von mehr als 180° hat. Diese Theorie des gekrümmten Raumes wurde in den letzten Jahrzehnten auch durch verschiedene Messungen bestätigt. Besonders eindrücklich und verwirrend zeigt sich die völlig andersartige Geometrie in der Umgebung eines Schwarzen Loches: Hier könnte ein Astronaut in seinem Raumschiff immer geradeaus fliegen und doch plötzlich wieder am Ausgangspunkt stehen. Und während er in dieser Weise in einer exakt geraden Linie um das schwarze Loch herumfliegt, sieht er in gerader Linie vor sich sich selber. Und wenn er zurückblickt, so sieht er gerade hinter sich noch einmal sich selber, und dahinter noch einmal usw..

Doch Einsteins Relativitätstheorie verdeutlichte nur, was viele Mathematiker schon davor befürchtet hatten: Die Mathematik kann wohl verschiedene völlig exakte und widerspruchsfreie Theorien über die Welt vorschlagen. Aber mit mathematischen Mitteln lässt sich niemals herausfinden, welche dieser Theorien nun wirklich auf unsere Welt zutrifft. Einstein soll dazu gesagt haben: „Insofern sich Gesetze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.“

Denn durch die Relativitätstheorie wird die euklidsche Geometrie nicht falsch. Die Sätze der euklidschen Geometrie sind so exakt und widerspruchsfrei, wie man sich dies nur wünschen kann: Sie sagen nur nichts über die wirkliche Welt aus, weil leider Euklids Axiome an vielen Stellen in unserer Welt nicht gelten. Es gibt andere ebenso exakte und widerspruchsfreie Geometrien, die auf anderen Voraussetzungen basieren und die der Wirklichkeit vermutlich näher kommen. Aber beweisen, dass diese modernen Geometrien die richtigen seien, wird man dennoch nie können. Man wird lediglich den Raum immer präziser vermessen und feststellen können, ob Abweichungen zur herkömmlichen Theorie erkennbar sind. Solche Messungen sind aber wiederum nicht mathematisch exakt, da sie ja von der Korrektheit unserer Messinstrumente und unserer Sinne abhängig sind, die noch immer von einem kartesischen Dämon getäuscht werden könnten. Wir befinden uns also mehr denn je in jener Unsicherheit, die Descartes so sehr beklagte!

Was ist Deduktion?

Die Schlussfolgerung der Mathematik beruht auf Deduktion, auf der Ableitung von Aussagen aus gegebenen Hypothesen (bzw. Axiomen) mit Hilfe logischer Schlussregeln. Diese Denkweise braucht natürlich nicht auf Zahlen und Geometrie beschränkt zu bleiben. Im Gegenteil ergeben sich im Alltag beliebig viele Anwendungsmöglichkeiten, zum Beispiel nach dem folgenden Muster:

Kein Berg auf der Erde ist höher als 9000m.

Das Matterhorn ist ein Berg.
________________________________________

Also ist das Matterhorn weniger hoch als 9000m.

Die ersten zwei Zeilen, also die Tatsachen, die man als gegeben annimmt, nennt man die Prämissen des Schlusses (was den Axiomen bzw. den Definitionen der Mathematik entspricht). Durch Deduktion erhält man aus den zwei Prämissen die dritte Zeile. Sofern die Prämissen richtig sind und die Regeln der Deduktion exakt eingehalten werden, muss auch die Schlussfolgerung ohne Zweifel richtig sein. In diesem Sinne ist die Deduktion absolut exakt.

Natürlich könnte ein Skeptiker einwenden, es gebe vielleicht irgendwo einen noch Berg der höher als 9000m sei, von dem aber in unserem Schulatlas nichts steht, weil unsere Lehrer uns bewusst zu täuschen versuchen oder weil unsere Regierung aus politischen Gründen dem anderen Land den höheren Berg nicht gönnt und ihn deshalb aus allen Schulbüchern zensurierte. Selbst wenn diese Ansicht nicht sehr glaubwürdig klingt, besteht doch eine gewisse Unsicherheit, die sich letztlich auch auf die Schlussfolgerung überträgt. Der deduktive Schluss selber aber ist exakt: Falls die Prämissen richtig sind, ist auch die Schlussfolgerung richtig.

Dabei ist bemerkenswert, dass der Gegenstand der Prämisse keinerlei Einfluss auf den deduktiven Prozess ausübt, denn Richtigkeit der Deduktion in diesem Beispiel folgt aus der Definition der Wörter ‘Alle’ und ‘Sein’. Immer wenn gilt: „Alle A sind b“ und „C ist ein A“, folgt „C ist b“. Solange ich die Ausdrücke ‘Alle’ und ‘Sein’ nach obigem Schema verwende, kann mir überhaupt nichts passieren. Ebenso hätte ich sagen können:

Alle Schweizer sind Fondueliebhaber.
Hans ist ein Schweizer.
______________________________
Also ist Hans ein Fondueliebhaber.

oder:

Alle meine Beispiele sind originell.
Dieses Beispiel ist von mir.
__________________________
Also ist dieses Beispiel originell.

Wieder leiden diese Schlussfolgerungen an der Schwäche, die sich schon bei der euklidschen Geometrie bemerkbar machte: Die Schlussfolgerung sagt nichts darüber aus, ob die Prämissen in der Wirklichkeit auch tatsächlich wahr sind oder ob sie freie Erfindungen des menschlichen Geistes sind. Falls eine meiner Prämissen falsch ist, und nicht alle Schweizer Fondueliebhaber sind, so muss Hans in der wirklichen Welt nicht notwendigerweise Fondue mögen. In diesem Sinne sagt die Deduktion über die Wirklichkeit überhaupt nichts aus. Sie sagt uns nur mit völliger Exaktheit, wie die Welt notwendigerweise sein müsste, falls die Prämissen zutreffen.

Der französische Mathematiker Pascal, Blaise formulierte das so: “Die Mathematiker, die nur Mathematiker sind, denken also richtig, aber nur unter der Voraussetzung, dass man ihnen alle Dinge durch Definitionen und Prinzipien erklärt; sonst sind sie beschränkt und unerträglich, denn sie denken nur dann richtig, wenn es um sehr klare Prinzipien geht.”

Darüber hinaus bleibt in der Deduktion die Ungewissheit, die die Skeptiker in ihrem Weltbild so gerne vermeiden wollten. Denn natürlich könnte ein kartesischer Dämon auch einen Mathematiker derart verwirren, dass dieser konsequent seine Schlussregeln falsch anwendet und so zu falschen Ergebnissen kommt. Diese Möglichkeit allerdings schliessen Mathematiker im allgemeinen aus. Die meisten Mathematiker halten ihre Schlussfolgerungen für zwingend.

Verdächtig sind in diesem Zusammenhang die Rechenkunststücke des Pentium-Chips, der im Dezember 1994 in der Computerwelt einigen Wirbel auslöste, weil er falsch rechnet. Mühe bekundet der Computer beispielsweise mit der Gleichung:

Z = X – (X : Y) x Y

Setzt man X = 4 195 835 und gleichzeitig Y = 3 145 727, so spuckt der Pentium-bestückte Computer das verblüffende Ergebnis Z = 256 aus. Ein Mensch gelangt bei derselben Rechnung -falls er keinen Fehler macht- zum Resultat Z = 0.

Aber woher wissen wir eigentlich, dass das Resultat des Pentium falsch ist? Könnte dies nicht ein erster Hinweis sein, dass wir falsch rechnen, weil wir von einem kartesianischen Dämon getäuscht werden?

Schon die Mathematik, die allein auf unseren Gedanken beruht, können wir nur sehr schwer begründen können. Um wie viel schwerer muss es also sein, zu sicheren Aussagen über die Aussenwelt zu gelangen, die wir ja höchstens über täuschbare Sinnesorgane wahrnehmen können! Man könnte an dieser Stelle kapitulieren und feststellen, dass eine exakte Beschreibung der Welt nicht möglich ist, weil unsere Sinnesorgane und unser Gehirn (zum Beispiel von einem Dämon) getäuscht werden könnten.

Statt überhaupt keine Aussagen über die Welt mehr zu wagen, könnte man aber auch versuchen, unter den verschiedenen widerspruchsfreien Prämissenkombinationen diejenige herauszusuchen, die am ehesten der wirklichen Natur entspricht. Zu diesem Versuch benötigt man neben der Deduktion ein zusätzliches Instrument, das eine Auslese unter den verschiedenen möglichen Prämissen ermöglicht. Dieses Instrument ist die Induktion.

Ein Naturwissenschaftler hofft (mehr noch als ein Mathematiker), dass keine Dämonen existieren, die ihn täuschen, und er nimmt an, dass jede seiner Beobachtungen einem realen Ding in der wirklichen Welt entspricht. Was immer man von diesen Annahmen halten mag, die Naturwissenschaften hatten damit einen enormen Erfolg -falls nicht ein Dämon uns diesen Erfolg nur vortäuscht…


Weiterführende Artikel auf dieser Homepage:

Der Satz von Turing – eine andere Grenze der Mathematik

Weiterführende Bücher:

Poundstone William, ‘Im Labyrinth des Denkens – Wenn Logik nicht weiterkommt: Paradoxien, Zwickmühlen, Sackgassen, Rätsel und die Hinfälligkeit des Wissens’, (1992), Rowohlt Verlag GmbH.
Ein scharfsinniges Buch für scharfsinnige Denker, unterhaltsam geschrieben.

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